Matematiksel Kanıtlar: 'If and Only If' (Ancak ve Ancak)

Matematikte birçok teorem, iki ifadenin mantıksal olarak eşdeğer olduğunu iddia eder. Yani, bir ifade doğruysa diğeri de doğrudur; biri yanlışsa diğeri de yanlıştır. Bu durum genellikle “if and only if” (kısaca iff) veya Türkçede “ancak ve ancak” kalıbıyla ifade edilir.

Bu yazıda, bu tür ifadeleri kanıtlamanın iki temel yöntemini inceleyeceğiz.

1. Yöntem: Her İki Yönü Ayrı Ayrı Kanıtlamak (Prove Each Statement Implies the Other)

“$P$ ancak ve ancak $Q$” ($P \iff Q$) ifadesi aslında iki ayrı çıkarımın birleşimidir:

• “$P$ ise $Q$” ($P \implies Q$)
• “$Q$ ise $P$” ($Q \implies P$)

Bu yöntemde, “ancak ve ancak” kanıtını iki parçaya bölerek yaparsınız:

Strateji:

• Adım 1: “P’nin doğru olduğunu varsayalım, o halde Q da doğrudur” diyerek ilk yönü kanıtlayın.
• Adım 2: “Şimdi tam tersini, yani Q’nun doğru olduğunu varsayalım, o halde P de doğrudur” diyerek ikinci yönü kanıtlayın.

2. Yöntem: Bir Eşdeğerlik Zinciri Oluşturmak (Construct a Chain of Iffs)

İkinci yöntem genellikle daha zarif ve kısadır, ancak biraz daha fazla yaratıcılık gerektirebilir. $P$’nin $Q$’ya denk olduğunu kanıtlamak için, $P$’den başlayıp $Q$’ya ulaşana kadar bir dizi eşdeğer ifade yazarsınız.

Mantık şöyledir:

Eğer zincirdeki her adım bir “ancak ve ancak” ilişkisi ise, zincirin başındaki $P$ ile sonundaki $Q$ birbirine denktir.

Örnek: Basit Bir Cebirsel Denklem

Burada, ikinci dereceden bir denklemle ilgili bir teoremi kanıtlamak için 2. Yöntemi (Eşdeğerlik Zinciri) kullanan bir örnek verilmiştir.

Teorem: Bir $x$ gerçel sayısı için, $x^2 - 6x + 9 = 0$ denklemi ancak ve ancak $x = 3$ ise doğrudur.

Kanıt:

İkinci dereceden denklemden başlayarak bir “ancak ve ancak” çıkarımları zinciri oluşturuyoruz.

Denklemle başlayalım:

Sol tarafı çarpanlarına ayıralım. Bu ifade şuna denktir:

Her iki tarafın karekökünü alalım. Bir sayının karesi sıfırdır, ancak ve ancak sayının kendisi sıfırsa:

Her iki tarafa 3 ekleyelim. Bu ifade şuna denktir:

Sonuç:

Her adım bir “ancak ve ancak” bağlantısı olduğu için, $x^2 - 6x + 9 = 0 \iff x = 3$ olduğunu kanıtlamış olduk. $\blacksquare$

Özet

“Ancak ve ancak” kanıtları, matematiksel mantığın en güçlü araçlarından biridir. İki ifadenin tam olarak eşdeğer olduğunu göstermek, sadece bir yönün doğru olduğunu göstermekten çok daha güçlü bir sonuçtur.

• İki yönü ayrı ayrı kanıtlamak, daha sistematik ve adım adım ilerleyen bir yaklaşımdır.
• Eşdeğerlik zinciri oluşturmak, daha zarif ve kısa bir kanıt sağlar, ancak yaratıcılık gerektirir.

Her iki yöntem de matematiksel kanıtlarda sıkça kullanılır ve hangisinin tercih edileceği, kanıtlanacak ifadenin doğasına bağlıdır.

Referanslar

• Lehman, E., Leighton, F. T., & Meyer, A. R. (2010). Mathematics for Computer Science. MIT.
• Velleman, D. J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press.