Kanıt Nedir? Bir Fikrin 'Doğru' Olduğunu Nasıl Anlarız?

Bilgisayar bilimi ya da matematikte bir ifadenin “doğru” olduğunu söylemek, yalnızca birkaç örnekte doğru sonuç verdiğini göstermek değildir. Özellikle kritik sistemlerde “genelde doğru” yaklaşımı yeterli sayılmaz. Bir bankacılık uygulamasını düşünelim: işlemlerin yüzde doksan dokuzunun doğru olması bile ciddi sorunlara yol açabilir. Bu nedenle böyle sistemlerde beklentimiz, programın her durumda, istisnasız ve öngörülen biçimde çalışmasıdır.

Matematiksel kanıt tam olarak bu ihtiyaca hizmet eder. Kanıt, bir fikrin neden her zaman doğru olmak zorunda olduğunu açıklayan mantıklı ve tutarlı bir temeldir. Kanıt sürecinin temelinde ise doğru veya yanlış olduğu açıkça belirlenebilen ifadeler, yani önermeler bulunur.

1. Önerme Nedir?

Bir kanıt inşa edebilmek için önce üzerinde konuşabileceğimiz, doğruluk değeri olan bir ifadeye ihtiyaç duyarız. Böyle ifadelere önermeler denir. Bir önerme, açık ve kesin biçimde “doğru” ya da “yanlış” olarak değerlendirilebilen bir cümledir.

Örneğin:

• $2 + 3 = 5$ bir önermedir ve doğrudur.
• $1 + 1 = 3$ yine bir önermedir fakat yanlıştır.

Önerme sayılabilmesi için ifadenin doğru olması gerekmez; önemli olan onun doğruluk değerinin bulunmasıdır.

Bazı ifadeler ise önerme niteliği taşımaz. Örneğin “Nasılsın?” bir sorudur; doğru veya yanlış diye değerlendirilemez. “Kapıyı kapat.” bir emir cümlesidir. “Mavi en güzel renktir.” kişisel görüştür. Bu tür ifadelerin doğruluk değeri olmadığı için kanıt sürecinde kullanılmaz.

2. Bir Fikri Test Etmek ve Yanılmak

Zaman zaman bazı ifadeler ilk bakışta oldukça ikna edici olabilir. Örneğin matematikte sıkça verilen şu ifade bunun güzel bir örneğidir:

$n$ sıfır veya daha büyük bir tam sayı olduğunda, $n^2 + n + 41$ her zaman asal bir sayı verir.

Bu ifadeyi birkaç değer üzerinde deneyelim:

• $n=0$ → $41$ (asal)
• $n=1$ → $43$ (asal)
• $n=2$ → $47$ (asal)
• $n=20$ → $461$ (asal)

Bu denemelerin pek çoğu doğru sonuç verdiği için ifade ilk bakışta güvenilir görünür. Ancak bir fikri kanıtlamak yalnızca fazla örnek denemek değildir. Kanıtın gücü, fikrin tüm durumlarda geçerli olduğunu göstermesinden gelir.

Bu nedenle $n=40$ değerine de bakalım:

1681 bir asal sayı değildir çünkü:

Burada elde ettiğimiz tek bir yanlış sonuç, yani karşı örnek, fikrin tamamını geçersiz kılar. Matematikte bin tane doğru örnek, bir ifadenin her zaman doğru olduğunu kanıtlamaya yetmez. Fakat yalnızca bir yanlış örnek, ifadenin yanlış olduğunu göstermeye yeter.

Bu durum, kanıt düşüncesinin temel ilkelerinden biridir.

3. Tahmin, Teorem ve Kanıt

Matematikte bazı ifadeler vardır ki uzun süre boyunca doğruluğuna inanılır fakat kimse bunları kesin bir şekilde açıklayamaz. Bu noktada tahmin, teorem ve kanıt kavramları birbirinden ayrılır.

Tahmin

Bir ifade birçok örnekte doğru sonuç verir ve uzun süre boyunca bir karşı örnek bulunamazsa buna tahmin denir. Ancak tahminin teorem olabilmesi için yalnızca doğruluğunun gözlemlenmesi yetmez; neden her zaman doğru olduğunun açıklanması gerekir.

Teorem

Bir tahmin, geçerliliği açık ve tutarlı bir kanıtla gösterildiğinde artık teorem adını alır. Böylece ifade “kanıtlanmış bilgi” haline gelir.

Örnekler

Fermat’nın Son Teoremi:
$n > 2$ için $x^n + y^n = z^n$ denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü yoktur. Bu ifade yaklaşık 350 yıl boyunca kanıtlanamamış, 1994 yılında Andrew Wiles’ın çalışmasıyla teorem haline gelmiştir.

Goldbach Tahmini:
“İkiden büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir.”
Bugüne kadar yapılan hiçbir denemede karşı örnek bulunmamıştır. Ancak bu ifadenin neden her zaman doğru olduğuna dair genel bir kanıt olmadığından, bu ifade hala tahmin olarak sınıflandırılır.

Sonuç

Bir düşünceyi kanıtlamak, o düşüncenin neden her zaman doğru olduğunu açıklamak demektir. Bu nedenle kanıt, yalnızca örnek denemelerine dayanmaz; her duruma uygulanabilecek mantıklı bir gerekçeye dayanır. Bilgisayar biliminde de programların sadece “çoğu zaman” değil, her zaman doğru çalıştığını göstermek büyük önem taşır. Bu güvenceyi sağlayan temel araç da kanıttır.

Referanslar

Bu yazı hazırlanırken şu eserlerden yararlanılmıştır:

• Michael Sipser – Introduction to the Theory of Computation
• Lehman, Leighton & Meyer – Mathematics for Computer Science (MIT MCS)
• Daniel J. Velleman – How to Prove It